Question

甲、乙两个粮库要向A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100t大米，乙库可调出80吨大米，A镇需70吨大米，B镇需110t大米．两库到两镇的路程和运费如下表：

	路程/km		运费/
	甲库	乙库	甲库	乙库
A镇	20	15	12	12
B镇	25	20	10	8

（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少t大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？
（2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）列出线性约束条件，目标函数，作出可行域，求出最值，可得结论；
（2）求出最大与最小的差，即可得到国家造成的损失．
解答：解：（1）设甲粮库向A镇运送xt大米，乙粮库向A镇运送yt大米，则甲粮库向B镇运送（100-x）t大米，乙粮库向B镇运送（80-y）t大米．总运费为z元，线性约束条件为，（2分） 
目标函数为z=20×12x+15×12y+25×10（100-x）+20×8（80-y）=-10x+20y+37800，（4分） 
作出可行域（如图阴影部分）），（6分）

作直线l：-10x+20y=0，即x-2y=0．
作l的平行直线可知直线过A（70，0）时，z最小，z_min=-10×70+37800=37100（元）．
直线过点B（0，70）时，z最大．z_max=20×70+37800=39200（元）．（8分） 
故从甲粮库运70t大米到A镇，30t大米到B镇，乙粮库80t大米全部运送到B镇才能使总运费用最省，此时运费是37100元．（11分）
（2）z_max-z_min=39200-37100=2100（元）最不合理的运送方案是从乙粮库运送70t大米到A镇，10t大米到B镇，甲粮库的100t大米全部运送到B镇，它使国家造成的损失是2100元．（13分）
点评：本题考查线性规划知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．