Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴， 轴上的截距分别为，证明： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意可得c=1，将P代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意：C1： ，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），求出PM，PN方程，求得直线MN方程，求出MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，结合椭圆方程，即可得到定值．

试题解析：

（1）由题意得：c=1，所以a2=b2+1，
又因为点 在椭圆C上，所以可解得a2=4，b2=3，
所以椭圆标准方程为.

（2）由（1）知，设点，因为不在坐标轴上，所以，直线的方程为化简得，同理可得直线的方程为： ，把点的坐标代入得，所以直线的方程为，令，得；令，得，所以又点在椭圆上，所以： ，即为定值.