Question

已知向量

p

=(x，a-3)，

q

=(x，x+a)，f(x)=

p

•

q

．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在区间（1，+∞）上有两实根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设实数m、n、r满足：m、n、r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①m+n+r，②m²+n²+r²，③m³+n³+r³是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（Ⅲ）给定函数h（x）=bx+1（b＞0），若对任意的x₀∈[2，3]，总存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=0在区间（1，+∞）上有两实根，得

△≥0 对称轴＞1 f(1)＞0

；化简得a的取值范围；
（Ⅱ）由f（x）=0有实根时，-1≤a≤3，令m=a，得n，r是方程的两根，即得n+r与nr，从而得m+n+r，m²+n²+r²，m³+n³+r³的值（表达式）；
（Ⅲ）由x₀∈[2，3]时，g（x₀）取值一定，x₁∈[1，2]时，h（x₁）取值一定，且g（x₀）⊆h（x₁），得

b(1)≤gmin b(2)≥gmax

，求出b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：f(x)=

p

•

q

=x2+(a-3)x+a2-3a，
∵方程f（x）=0，在区间（1，+∞）上有两实根，
∴

△=(a-3)2-4(a2-3a)≥0① - a-3 2 ＞1，② f(1)=a2-2a-2＞0③

；
由①得：-1≤a≤3，
由②得：a＜1，
由③得：a＜1-

3

或a＞1+

3

，
所以a的取值范围：-1≤a＜1-

3

；
（Ⅱ）∵f（x）=0有实根，∴-1≤a≤3，
不妨令m=a，则n，r是x²+（a-3）x+a²-3a=0的两根，
从而n+r=3-a，nr=a²-3a
故m+n+r=3，
m²+n²+r²=a²+（3-a）²-2（a²-3a）=9，
m³+n³+r³=a³+（n+r）³-3nr（n+r）=a³+（3-a）³-3（a²-3a）（3-a）
=3a³-9a²+27，
∴g（a）=3a³-9a²+27，其中a∈[-1，3]；
故g'（a）=9a²-18a
令g'（a）=0，∴a=0，或a=2，
从而在[-1，0），（2，3]上g'（a）＞0，g（a）为增函数，
在（0，2）上g'（a）＜0，g（a）为减函数；
∴a=2为极小值点，∴g（2）=15，又g（-1）=15，
∴g（a）的最小值为g（a）_min=15；
（Ⅲ）当x₀∈[2，3]时，g（x₀）∈[15，27]，当x₁∈[1，2]时，h（x₁）∈[b+1，2b+1]，
由题意知[15，27]⊆[b+1，2b+1]，
∴

b+1≤15 2b+1≥27

，∴13≤b≤14．
所以b的取值范围是：[13，14]．

点评：本题以平面向量的数量积运算考查了函数性质及其导数的综合应用，是高考中的有一定难度的题目，很值得学习与研究．