题目内容
12．
如图，四棱锥E-ABCD中，侧面EAB⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB=BC=2AD，∠DAB=90°，△EAB是正三角形，F为EC的中点．
（Ⅰ）求证：DF∥平面EAB；
（Ⅱ）求证：DF⊥平面EBC．
分析 （I）设M为BE的中点，连结FM，AM，可证四边形AMFD是平行四边形，既有AM∥DF，又DF?平面EAB，AM?平面EAB，即可证明DF∥平面EAB．
（II）先证明BC⊥AB，可证BC⊥平面EAB，BC⊥AM，又BE⊥AM，从而可证AM⊥平面EBC，由AM∥DF，即可证明DF⊥平面EBC．
解答 （本小题共14分）
证明：（I）设M为BE的中点，连结FM，AM
∵F为EC的中点
∴FM∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BC
∵AD∥BC，BC=2AD
∴四边形AMFD是平行四边形
∴AM∥DF …（6分）
又DF?平面EAB，AM?平面EAB
∴DF∥平面EAB
（II）∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴BC⊥AB
又侧面EAB⊥底面ABCD，侧面EAB∩底面ABCD=AB，AB?平面ABCD
∴BC⊥平面EAB，又AM?平面EAB
∴BC⊥AM
∵△EAB是正三角形，F为EC的中点
∴BE⊥AM
又BC∩BE=B，BC?平面EBC，BE?平面EBC
∴AM⊥平面EBC
∵AM∥DF
∴DF⊥平面EBC …（14分）
点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．
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（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；
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| 车型 | A | B | C |
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