题目内容
若对一切x∈R，不等式4x+（a-1）2x+1≥0恒成立，则a的取值范围是______．
当x∈R时，2x＞0，
∴不等式4x+（a-1）2x+1≥0恒成立等价于a-1≥
=-2x-
恒成立，
即a≥-2x-
+1恒成立．
令2x=t（t＞0）．
即a≥-t-
+1（t＞0）恒成立．
令g（t）=-t-
+1（t＞0），
g′(t)=-1+
=
，
当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，
当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0．
∴当t=1时g（t）有极大值也就是最大值，
g（t）max=g（1）=-1．
∴a≥-1．
故答案为：a≥-1．
∴不等式4x+（a-1）2x+1≥0恒成立等价于a-1≥
| -4x-1 |
| 2x |
| 1 |
| 2x |
即a≥-2x-
| 1 |
| 2x |
令2x=t（t＞0）．
即a≥-t-
| 1 |
| t |
令g（t）=-t-
| 1 |
| t |
g′(t)=-1+
| 1 |
| t2 |
| -t2+1 |
| t2 |
当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，
当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0．
∴当t=1时g（t）有极大值也就是最大值，
g（t）max=g（1）=-1．
∴a≥-1．
故答案为：a≥-1．
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