Question

1．若关于x的不等式3-|x-a|＞x²至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $-3＜a＜\frac{13}{4}$
• B． $-\frac{13}{4}＜a＜\frac{13}{4}$
• C． -3＜a＜3
• D． $-\frac{13}{4}＜a＜3$

Answer 1

分析 由题意可得不等式|x-a|＜3-x²，且3-x²＞0至少有一个负数解，在同一个坐标系中画出y=3-x² 和函数y=|x-a|的图象．当函数y=|x-a|的图象的左支经过点（0，3）时，求得a的值；当函数y=|x-a|的图象的右支和y=3-x² 的图象相切时，求得a的值，从而得到要求的a的范围．

解答 解：关于x的不等式3-|x-a|＞x²，即|x-a|＜3-x²，且3-x²＞0．
在同一个坐标系中画出y=3-x² 和
函数y=|x-a|的图象，
当函数y=|x-a|的图象的左支经过点（0，3）时，求得a=3；
当函数y=|x-a|的图象的右支和y=
3-x² 的图象相切时，方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-a}\\{y=3{-x}^{2}}\end{array}\right.$
 有唯一解，
即 x²+x-a-2=0有唯一解，故△=1-4（-a-3）=0，求得a=-$\frac{13}{4}$，
故要求的a的范围为（-$\frac{13}{4}$，3），
故选：D．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．