Question

（1）设曲线C的参数方程为

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

，直线l的参数方程为

x=1+2t y=1+t

（t为参数），则直线l被曲线C截得的弦长为

4

．
（2）已知a，b为正数，且直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为

25

．

Answer 1

分析：（1）将曲线C化成标准方程，可得它是以（2，-1）为圆心，半径是3的圆．然后将直线l化成一般方程，求出点（2，-1）到直线l的距离，最后利用垂直于弦的直径的性质，得到直线l被曲线C截得的弦长；
（2）根据两直线垂直的充要条件列式，得到3a+2b=ab，化成

3

a

+

2

b

=1，利用“1”的代换将2a+3b转化为13+

4a

b

+

9b

a

，根据基本不等式a+b≥2

ab

，可以求得2a+3b的最小值为25．

解答：解：（1）曲线C的参数方程为

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

，
可得

3cosθ=x-2 3sinθ=y+1

，结合cos²θ+sin²θ=1，可得
曲线C的直角坐标方程为：（x-2）²+（y+1）²=9
它是以M（2，-1）为圆心，半径为3的圆
∵直线l的参数方程为

x=1+2t y=1+t

（t为参数），
∴消去参数t得直线l的直角坐标方程为：x-2y+1=0
∴点M到直线l的距离为d=

|2-2×(-1)+1|

12+(-2)2

=

5

设直线l被曲线C截得的弦长为m，可得（

1

2

m）²+d²=R²=9
∴m=2

9-d2

=4
（2）∵直线2x-（b-3）y+6=0的斜率为k1=

2

b-3

，
直线bx+ay-5=0斜率为k2=-

b

a

，且两互相垂直∴
∴k1k2=

2

b-3

•(-

b

a

)=-1⇒3a+2b=ab⇒

2

a

+

3

b

=1
∴2a+3b=(

2

a

+

3

b

)(2a+3b)=13+

6a

b

+

6b

a

∵a，b为正数
∴

6a

b

+

6b

a

≥2

6a b • 6b a

=12
当且仅当a=b=5时，等号成立，
可得2a+3b的最小值为13+12=25
故答案为：4，25

点评：本题考查了直线的参数方程、圆的参数方程和直线与圆的位置关系，以及基本不等式求最值的知识，属于中档题．