题目内容

(1)设曲线C的参数方程为,直线l的参数方程为(t为参数),则直线l被曲线C截得的弦长为   
(2)已知a,b为正数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为   
【答案】分析:(1)将曲线C化成标准方程,可得它是以(2,-1)为圆心,半径是3的圆.然后将直线l化成一般方程,求出点(2,-1)到直线l的距离,最后利用垂直于弦的直径的性质,得到直线l被曲线C截得的弦长;
(2)根据两直线垂直的充要条件列式,得到3a+2b=ab,化成,利用“1”的代换将2a+3b转化为13+,根据基本不等式,可以求得2a+3b的最小值为25.
解答:解:(1)曲线C的参数方程为
可得,结合cos2θ+sin2θ=1,可得
曲线C的直角坐标方程为:(x-2)2+(y+1)2=9
它是以M(2,-1)为圆心,半径为3的圆
∵直线l的参数方程为(t为参数),
∴消去参数t得直线l的直角坐标方程为:x-2y+1=0
∴点M到直线l的距离为d=
设直线l被曲线C截得的弦长为m,可得(m)2+d2=R2=9
∴m=
(2)∵直线2x-(b-3)y+6=0的斜率为
直线bx+ay-5=0斜率为,且两互相垂直∴
⇒3a+2b=ab⇒
∴2a+3b==13+
∵a,b为正数

当且仅当a=b=5时,等号成立,
可得2a+3b的最小值为13+12=25
故答案为:4,25
点评:本题考查了直线的参数方程、圆的参数方程和直线与圆的位置关系,以及基本不等式求最值的知识,属于中档题.
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