Question

已知数列{a_n}中S_n是它的前n项和，且S_n+1=4a_n+2（n∈N*），a₁=1。
 （1）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N*），证明：数列{b_n}为等比数列；
 （2）设c_n=（n∈N*），证明：数列{c_n}为等差数列；
 （3）求S_n=a₁+a₂+…+a_n。

Answer 1

解：（1）由S_n+1=4a_n+2，得a_n+1=S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2）（n≥2）
∴a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1）
故数列{a_n+1-2a_n} 是以a₂-2a₁为首项，2为公比的等比数列，又a₁=1，a₁+a₂=S₂=4a₁+2，
所以a₂=5
∴b_n=a_n+1-2a_n=3·2^n-1；
（2）将a_n+1-2a_n=3·2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹，则，即
故{c_n}是以为首项，为公差的等差数列；
（3）由（2）知，得a_n=（3n-1）·2^n-2
又S_n=4a_n-1+2，则S_n=4（3n-4）·2^n-3+2=（3n-4）·2^n-1+2。