Question

（满分14分）随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；
（3）对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。

Answer 1

（1）

	2	3	4	5
P

（2）当时，，当时
（3）当时，当时，

试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，
当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.
试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为

	2	3	4	5
P

（2）和恰好相等的所有可能值为
又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；
和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；
和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；
所以当时，
当时
（3）由（2）当时，因此
而当时，理由如下：
等价于①
用数学归纳法来证明：
当时，①式左边①式右边所以①式成立
假设时①式成立，即成立
那么，当时，①式左边

=①式右边
即当时①式也成立
综合得，对于的所有正整数，都有成立