题目内容
【题目】如图①,在直角梯形ABCD中,AD=1,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图②所示的几何体.
(1)求证:AB⊥平面ADC;
(2)若AC与平面ABD所成角的正切值为,求二面角B—AD—E的余弦值。
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)要证明线面垂直,由条件可知,再根据面面垂直转化为证明
,再根据线面垂直判断定理证明;
(2)由(1)可知,因为AD=1,所以CD=
,设AB=x(x>0),则BD=
,因为△ABD∽△DCB,所以
=
,即
,求得边长,再取过A作AO
BD于O,则AO
平面BDC,过O作OG//DC交BC于G,以O为坐标原点 OB,OG,OA分别为x.y.z轴非负半轴建立空间直角坐标系,利用向量的坐标法求二面角的余弦值.
(1)证明 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD⊥DC,DC平面BCD,
所以DC⊥平面ABD.
因为AB平面ABD,所以DC⊥AB,
又因为AD⊥AB,且DC∩AD=D,
所以AB⊥平面ADC.
(2)解 由(1)知DC⊥平面ABD,所以∠DAC为AC与平面ABD所成角.
依题意得tan∠DAC==
,
因为AD=1,所以CD=,
设AB=x(x>0),则BD=,
因为△ABD∽△DCB,所以=
,即
,
解得x=,故AB=
,BD=
.
过A作AOBD于O,则AO
平面BDC,过O作OG//DC交BC于G,以O为坐标原点 OB,OG,OA分别为x.y.z轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示
面ABD法向量可取
DO=,OA=
D(,0,0) A(0,0,
),
,
,所以
,
设面DAE法向量为则
取
又二面角B—AD—E是锐角,所以所求二面角的余弦值为。
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