题目内容
16.已知函数f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1),若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.分析 分当x=-1时,当x∈[-2,-1)时,当x∈(-1,+∞)时三种情况,讨论使f(x)≤kg(x)成立的k的取值范围,综合讨论结果,可得答案.
解答 解:当x=-1时,f(x)=-1,g(x)=0,此时f(x)≤kg(x)恒成立;
当x∈[-2,-1)时,g(x)=2ex(x+1)<0,f(x)≤kg(x)可化为:k≤$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}(x+1)}$,
令h(x)=$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}(x+1)}$,则h′(x)=$\frac{{-x(x+2)}^{2}}{2{e}^{x}(x+1)^{2}}$≥0恒成立,
故h(x)在区间[-2,-1)上恒成立,
当x=-2时,h(x)取最小值e2,
故k≤e2,
当x∈(-1,+∞)时,g(x)=2ex(x+1)>0,f(x)≤kg(x)可化为:k≥$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}(x+1)}$,
令h(x)=$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}(x+1)}$,则h′(x)=$\frac{{-x(x+2)}^{2}}{2{e}^{x}(x+1)^{2}}$,
当x∈(-1,0)时,h′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,
故当x=0时,h(x)取极小值1,
故k≥1,
综上所述:k∈[1,e2]
点评 本题考查的知识点是导数法判断函数的单调性,分类讨论思想,难度中档.
练习册系列答案
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A. | 60° | B. | 30° | C. | 120° | D. | 60°或120° |