题目内容
设函数
，
为正整数，
为常数，曲线
在
处的切线方程为
。
（1）求的值； （2）求函数
的最大值； （3）证明：
。
【答案】
（1）
（2）
（3）见解析
【解析】（1）因为
，由点
在
上，可得
因为
，所以
又因为切线的斜率为
，所以
，所以
（2）由（1）可知，
令
，即
在
上有唯一的零点
。
在
上，
，故
单调递增；而在
上，
，单调递减，故在的最大值为。
（3）令
，则
在
上，
，故
单调递减，而在
上，
，单调递增，
故在上的最小值为
，所以
即
，令
，得
，即
所以
，即
由（2）知，
，故所证不等式成立。
【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有
等的函数求导的运算及其应用考查
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表示
导函数。
为奇数时，设
，数列
的前
项和为
，证明不等式
对一切正整数
与
的大小.
为正整数，
为常数．曲线
在点
处的切线方程为
.
的最大值；
.