题目内容

已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=(
12
)x图象上．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）设an=n（n为正整数），过点Pn，Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn，试求最小的实数t，使cn≤t对一切正整数n恒成立；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的数列{an}，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k-1个3，得到一个新的数列{dn}，设Sn是数列{dn}的前n项和，试探究2008是否数列{Sn}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．
分析：（Ⅰ）若设数列{an}的公差为d，则bn=(
1
2
)an，
bn+1
bn
=(
1
2
)an+1-an=(
1
2
)d为常数，即证数列{bn}是等比数列．
（Ⅱ）若an=n，则bn=(
1
2
)n，得点Pn(n，(
1
2
)n)，Pn+1(n+1，(
1
2
)n+1)，从而得斜率kPnPn+1，即得直线PnPn+1的方程，求得它与x轴，y轴的交点An，Bn，得数列{cn}的通项公式，{cn}的增减性，知cn≤c1=
9
8
，即得最小的实数t的值．
（Ⅲ）由an=n，知数列{dn}中，从第一项a1开始到ak为止的所有项的和是（1+2+…+k）+（31+32+…+3k-1），k=7时，和是28+
37-3
2
=1120＜2008，k=8时，和是36+
38-3
2
=3315＞2008；2008-1120=888是3的倍数，所以存在自然数m，使Sm=2008；求出m的值即可．
解答：解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由已知bn=(
1
2
)an，
所以，
bn+1
bn
=(
1
2
)an+1-an=(
1
2
)d（常数），
所以，数列{bn}是等比数列．
（Ⅱ）若an=n，则bn=(
1
2
)n，
∴Pn(n，(
1
2
)n)，Pn+1(n+1，(
1
2
)n+1)，kPnPn+1=
(
1
2
)n+1-(
1
2
)n
(n+1)-n
=-(
1
2
)n+1，
直线PnPn+1的方程为y-(
1
2
)n=-(
1
2
)n+1(x-n)，
它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），Bn(0，
n+2
2n+1
)，
∴cn=
1
2
•|OAn|•|OBn|=
(n+2)2
2n+2
，
cn-cn+1=
(n+2)2
2n+2
-
(n+3)2
2n+3
=
n2+2n-1
2n+3
＞0，
∴数列{cn}随n增大而减小，
∴cn≤c1=
9
8
，即最小的实数t的值为
9
8
．
（Ⅲ）∵an=n，∴数列{dn}中，从第一项a1开始到ak为止（含ak项）的所有项的和是：
（1+2+…+k）+（31+32+…+3k-1）=
k(k+1)
2
+
3k-3
2
，
当k=7时，其和是28+
37-3
2
=1120＜2008，
而当k=8时，其和是36+
38-3
2
=3315＞2008．
又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
所以存在自然数m，使Sm=2008．
此时m=7+（1+3+32+…+35）+296=667．
点评：本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时灵活应用了等比关系的确定，数列的求和公式等知识，是较难的题目．
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OPn
=an
OA
+bn
OB
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（Ⅲ）证明：对于给定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一个指数函数的图象上．
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