Question

（2013•海淀区一模）已知圆M：（x-

2

）²+y²=r²（r＞0）．若椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆心可得a值，进而由离心率可得c值，根据平方关系可得b值；
（II）由点G在线段AB上，且|AG|=|BH|及对称性知点H不在线段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|AB|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根据|AB|=|GH|得r，k的方程，分离出r后按k是否为0进行讨论，借助基本函数的范围即可求得r范围；

解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，
由椭圆右顶点为圆M的圆心（

2

，0），得a=

2

，
又

c

a

=

2

2

，所以c=1，b=1．
所以椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l与椭圆C交于两点A，B，则

y=kx x2+2y2-2=0

，
所以（1+2k²）x²-2=0，则x₁+x₂=0，x1x2=-

2

1+2k2

，
所以|AB|=

(1+k2) 8 1+2k2

=

8(1+k2) 1+2k2

，
点M（

2

，0）到直线l的距离d=

| 2 k|

1+k2

，
则|GH|=2

r2- 2k2 1+k2

，
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，

所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，
所以

8(1+k2)

1+2k2

=4(r2-

2k2

1+k2

)，
r2=

2k2

1+k2

+

2(1+k2)

1+2k2

=

2(3k4+3k2+1)

2k4+3k2+1

=2(1+

k4

2k4+3k2+1

)，
当k=0时，r=

2

，
当k≠0时，r2=2(1+

1

1 k4 + 3 k2 +2

)＜2（1+

1

2

）=3，
又显然r2=2(1+

1

1 k4 + 3 k2 +2

)＞2，所以

2

＜r＜

3

，
综上，

2

≤r＜

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握．