Question

已知两不共线的向量

a

，

b

的夹角为θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x为正实数．
（1）若

a

+2

b

与

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若对任意正实数x，向量x

a

-

b

的模不小于

1

2

，求θ的取值范围；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用(

a

+2

b

)⊥(

a

-4

b

)?(

a

+2

b

)•(

a

-4

b

)=0，即可解出；
（2）利用向量模的计算公式及变形利用基本不等式的性质及三角函数的单调性即可得出；
（3）利用向量模的计算公式、一元二次方程有两个不等正实数根的充要条件、根与系数的关系即可解出．

解答：解：（1）∵(

a

+2

b

)⊥(

a

-4

b

)，∴(

a

+2

b

)•(

a

-4

b

)=0，化为

a

2-2

a

•

b

-8

b

2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，解得cosθ=

1

6

，
又θ∈（0，π），∴sinθ=

1-( 1 6 )2

=

35

6

，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

．
（2）∵|x

a

-

b

|=

(x a - b )2

=

9x2-6xcosθ+1

≥

1

2

，对x＞0恒成立，
即9x2-6xcosθ+

3

4

≥0，对于x＞0恒成立?cosθ≤

3x

2

+

1

8x

恒成立，对于x＞0．
∵

3x

2

+

1

8x

≥2

3x 2 × 1 8x

=

3

2

，当且仅当x=

3

6

时取等号，∴cosθ≤

3

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ∈[

π

6

，π)．
（3）对于方程|x

a

-

b

|=|m

a

|两边平方得9x²-6xcosθ+1-9m²=0 （*）
设方程（*）的两个不同正实数解为x₁，x₂，
则

△=(6cosθ)2-36(1-9m2)＞0 x1+x2= 6cosθ 9 ＞0 x1x2= 1-9m2 9 ＞0

得cosθ＞0，

1

3

sinθ＜m＜

1

3

，

若x=m，则方程（*）化为x=

1

6cosθ

，∵x≠m，∴m≠

1

6cosθ

．
令

1

3

sinθ＜

1

6cosθ

＜

1

3

，得

sin2θ＜1 cosθ＞ 1 2

解得0＜θ＜

π

3

，且θ≠

π

4

．
当0＜θ＜

π

3

且θ≠

π

4

时，m的取值范围是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

且m≠

1

6cosθ

}；
当

π

3

≤θ＜

π

2

或θ=

π

4

时，m的取值范围是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

}．

点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式及变形利用基本不等式的性质、三角函数的单调性、一元二次方程有两个不等正实数根的充要条件、根与系数的关系是解题的关键．