题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其中a为常数，e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（0．e]上的最大值为2，求a的值．

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-1时，f（x）=lnx-x
f′（x）= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$
令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，
∴函数f（x）增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
①当a＜0时，x＞0，∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在（0．e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=2
∴ $\text{[math]}$ =2
∴a=e符号题意；
②当a＜0时，令f′（x）=0得x=-a，
1°若0＜-a≤e，即-e≤a＜0时

∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e^{2不符号题意，舍去；}2°若-a＞e，即a＜-e时，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函数，
故f（x）_max=f（e）=2
∴a=e不符号题意，舍去；
故a=e．
分析：（1）把a=-1时代入函数 $\text{[math]}$ ，求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）对方程f'（x）=0有无实根，和有根，根是否在区间（0，e]内进行讨论，求得函数的极值，确定函数的最大值．
点评：考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域；属难题．

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已知函数f（x）=

-1（其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（Ⅰ）当a=1且x₁=-1时，求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知函数y=f（x）满足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求a的取值范围；
②如果取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求a实数的值．

（2006•石景山区一模）已知函数y=f（x）对于任意θ≠

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a为常数）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数y=f（x）构造一个数列，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（ⅱ）是否存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（ⅲ）当a=1时，若x₁=-1，求数列{x_n}的通项公式．

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已知函数y=f（x）满足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）
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对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求a的取值范围；
②如果取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求a实数的值．