Question

（2006•石景山区一模）已知函数y=f（x）对于任意θ≠

kπ

2

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a为常数）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数y=f（x）构造一个数列，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（ⅱ）是否存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（ⅲ）当a=1时，若x₁=-1，求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）换元法：令x=a-tanθ（θ≠

kπ

2

），则tanθ=a-x，代入可得f（x）表达式；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，亦即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解，由△≥0可求得a的取值范围；（ⅱ）假设存在一个实数a，满足要求，可知，

x+1-a

a-x

=a在R中无解，亦即当x≠a时，方程（1+a）x=a²+a-1无实数解，由此可得

1+a=0 a2+a-1≠0.

，从而可得a值；（iii）当a=1时，由f(x)=

x

1-x

，得xn+1=

xn

1-xn

．两边取倒数可得

1

xn+1

=

1-xn

xn

=

1

xn

-1，可知数列{

1

xn

}是首项为

1

x1

=-1，公差d=-1的等差数列从而可得

1

xn

．

解答：解：（Ⅰ）令x=a-tanθ（θ≠

kπ

2

），则tanθ=a-x，而cotθ=

1

tanθ

=

1

a-x

，
故f（x）=

1

a-x

-1，
∴y=f（x）=

x+1-a

a-x

（x≠a）．         
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
将x=a代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解x=a．
由△=（1-a）²-4（1-a）≥0，得 a≤-3或a≥1，
即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．       
（ⅱ）假设存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，
那么根据题意可知，

x+1-a

a-x

=a在R中无解，亦即当x≠a时，方程（1+a）x=a²+a-1无实数解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以对于任意x∈R，方程（1+a）x=a²+a-1无实数解，
因此

1+a=0 a2+a-1≠0.

，解得a=-1．
∴a=-1即为所求a的值．         
（ⅲ）当a=1时，f(x)=

x

1-x

，所以，xn+1=

xn

1-xn

．
两边取倒数，得

1

xn+1

=

1-xn

xn

=

1

xn

-1，即

1

xn+1

-

1

xn

=-1．
所以数列{

1

xn

}是首项为

1

x1

=-1，公差d=-1的等差数列．
故

1

xn

=-1+(n-1)•(-1)=-n，
所以，xn=-

1

n

，即数列{x_n}的通项公式为xn=-

1

n

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查等差数列的通项公式，考查方程与函数思想，考查学生分析问题解决问题的能力．