已知数列满足:. (1)求证:数列是等比数列, (2)设.求数列的前项的和．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（本小题满分10分）已知数列满足：，

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项的和．

解：（1）∵

∴

即， ………………………………………………2分

又∵，∴，∴ …………………………………3分

∴ …………………………………………………………4分

∴数列{a_n＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列 ………………………5分

（2）由（1）得 a_n＋2＝3×3ⁿ^-1＝3ⁿ

∴a_n＝3ⁿ－2

b_n＝n·a_n＝n·3ⁿ－2n …………………………………………………………6分

∴T_n＝(1×3¹－2×1)＋(2×3²－2×2)＋…＋(n·3ⁿ－2n)

＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ－2(1＋2＋…＋n)

＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ－2×

＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ－n²－n ……………………………………7分

记S_n＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ

则3S_n＝1×3²＋…＋(n－1)·3ⁿ＋n·3ⁿ^＋¹

∴S_n－3S_n＝(3¹＋3²＋…＋3ⁿ)－n·3ⁿ^＋¹

＝－n·3ⁿ^＋¹

＝

∴S_n＝ …………………………………………………… 9分

∴T_n＝－n²－n. ………………………………………………10分

练习册系列答案

相关题目

（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=

1	2
-1	4

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

t+1

（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：

本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）、选修4-1：几何证明选讲
如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
若点A（2，2）在矩阵M=

cosα	-sinα
sinα	cosα

对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
（3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
在极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
（4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知a₁，a₂…a_n都是正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知a_n（n∈N^*）是二项式（2+x）ⁿ的展开式中x的一次项的系数．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）是否存在等差数列{b_n}，使a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

（本小题满分10分）数学的美是令人惊异的！如三位数153，它满足153=1³+5³+3³，即这个整数等于它各位上的数字的立方的和，我们称这样的数为“水仙花数”．请您设计一个算法，找出大于100，小于1000的所有“水仙花数”．
（1）用自然语言写出算法；
（2）画出流程图．

（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）
求矩阵A=

3	2
2	1

的逆矩阵．

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