Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当t≥1时，不等式f（3t-2）≥3f（t）-6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由求导公式和法则求出导数，求出f′（1）和f（1），代入点斜式方程，并化为一般式方程；
（2）根据题意和导数与单调性关系得，f′(x)=2x+2+

a

x

≥0和f′(x)=2x+2+

a

x

≤0在（0，2]恒成立，再分离出常数a，再由二次函数的单调性求出“2x²+2x”在（0，2]上的最小值即可；
（3）由题意构造函数h（t）=f（3t-2）-[3f（t）-6]，再求出导数并化简，根据t的范围，判断出一部分因式的符号，再对a分类讨论，判断出函数h（t）的单调性，求出函数h（t）的值域，再对照不等式看是否符合，求出a的范围．

解答：解：（1）由题意得，f′(x)=2x+2+

a

x

，
∴f′（1）=4+a，且f（1）=3，
∴过点（1，f（1））的切线方程为y-3=（4+a）（x-1），
即（4+a）x-y-a-1=0，
（2）由f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数得，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调增时，
∴f′(x)=2x+2+

a

x

≥0在（0，2]恒成立，
即2x²+2x+a≥0，∴-a≤2x²+2x，
∵2x²+2x在（0，2]上最小值为0，
∴-a≤0，即a≥0，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调减时，
∴f′(x)=2x+2+

a

x

≤0在（0，2]恒成立，
即2x²+2x+a≤0，∴-a≥2x²+2x，
∵2x²+2x在（0，2]上最小值为12，
∴-a≥12，即a≤-12．
综上得，实数a的取值范围是a≥0或a≤-12．     
（3）由题意令：h（t）=f（3t-2）-[3f（t）-6]（t≥1），
又∵h′(t)=3[f′(3t-2)-f′(t)]=6(t-1)[2-

a

t(3t-2)

]（t≥1），
∵t≥1，∴t（3t-2）≥1．
1°当a≤2时，2-

a

t(3t-2)

≥0，h′（t）≥0（等号不恒成立），
∴h（t）在[1，+∞）上为增函数，
且h（1）=f（1）-[3f（1）-6]=3-3=0，
则h（t）≥h（1）对任意的t∈[1，+∞）恒成立．
2°当a＞2时，
h′(t)=

6(t-1)(6t2-4t-a)

t(3t-2)

=

36(t-1)(t- 1- 1+9a 3 )(t- 1+ 1+9a 3 )

t(3t-2)

，
∵

1- 1+9a

3

＜1＜

1+ 1+9a

3

，
∴当t∈(1，

1+ 1+9a

3

)时，h′（t）＜0，
h（t）在(1，

1+ 1+9a

3

)上为减函数，
则h（t）＜h（1）=0，不合题意，舍去．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，以及恒成立问题，考查了转化思想、分类讨论思想，构造函数法，综合性较强，难度很大．