Question

【题目】如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高为10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．

（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；
（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即∠APF）的正切值为 ，求该圆形标志物的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆C：x2+（y﹣25）2=252．

直线PB方程：x﹣y+50=0．

设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），

因为直线PF与圆C相切，所以 ，解得

所以直线PF方程： ，即4x﹣3y+200=0

（2）解：设直线PF方程：y=k（x+50）（k＞0），圆C：x2+（y﹣r）2=r2．

因为tan∠APF=tan（∠GPF﹣∠GPA）= = ，所以

所以直线PF方程： ，即40x﹣9y+2000=0．

因为直线PF与圆C相切，所以 ，

化简得2r2+45r﹣5000=0，即（2r+125）（r﹣40）=0．

故r=40

【解析】（1）利用圆心与半径，可得圆的方程，利用PF与圆C相切，可得直线PF的方程；（2）先求出直线PF方程，再利用直线PF与圆C相切，求出该圆形标志物的半径．