题目内容

设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的图象关于直线x=
2π
3
对称，它的周期是π，则（　　）
A、f（x）的图象过点（0，
1
2
）
B、f（x）的图象在[
5π
12
，
2π
3
]上递减
C、f（x）的最大值为A
D、f（x）的一个对称中心是点（
5π
12
，0）
分析：由周期公式可先求ω，根据函数对称轴处取得函数最值，由函数的图象关于直线x=
2π
3
对称，可得sin（∅+
2π
3
）=±1，代入可得∅=
π
6
，根据三角函数的性质逐个检验选项．
解答：解：T=π，∴ω=2．
∵图象关于直线x=
2π
3
对称，
sin（φ+
2π
3
×2）=±1
即
2π
3
×2+φ=
π
2
+kπ，k∈Z
又∵-
π
2
＜φ＜
π
2
，∴φ=
π
6

∴f（x）=Asin（2x+
π
6
）．再用检验法逐项验证．
故选D
点评：本题考查了三角函数的性质：周期公式T=
2π
ω
的应用；三角函数对称轴的性质，正弦函数在对称轴处取得最值．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
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