题目内容
已知函数f（x）=x+
（1）用定义证明函数f（x）在（0，2）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域．
| 4 | x |
（1）用定义证明函数f（x）在（0，2）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域．
分析：（1）由f（x）的解析式，对任意的0＜x1＜x＜2，计算f（x1）-f（x2）＞0，可得函数f（x）在[1，2]上为减函数．
（2）根据f（x）在[1，2]上为减函数，求得f（x）在[1，2]上的值域．
（2）根据f（x）在[1，2]上为减函数，求得f（x）在[1，2]上的值域．
解答：解：（1）∵f（x）=x+
，
对任意的0＜x1＜x＜2，
f(x1)-f(x2)=x1+
-x2-
=(x1-x2)×
，
由题设可得，0＜x1＜x2＜2，0＜x1x2＜4，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在[1，2]上为减函数．
（2）由（1）得f（x）在[1，2]上为减函数．
f（x）max=f（1）=5，f（x）min=f（2）=4，
故f（x）在[1，2]上的值域为[4，5]．
| 4 |
| x |
对任意的0＜x1＜x＜2，
f(x1)-f(x2)=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| x1x2-4 |
| x1x2 |
由题设可得，0＜x1＜x2＜2，0＜x1x2＜4，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在[1，2]上为减函数．
（2）由（1）得f（x）在[1，2]上为减函数．
f（x）max=f（1）=5，f（x）min=f（2）=4，
故f（x）在[1，2]上的值域为[4，5]．
点评：本题主要考查函数的单调性的证明、函数的单调性的应用，属于中档题．
练习册系列答案
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|