题目内容

20.一个与正四棱锥的底面平行的平面把正四棱锥截成两部分,一部分是棱锥,一部分是棱台,已知被截得的棱台的上、下底面的边长分别是方程x2-6x+8=0的两根,且截得的棱台的侧面积等于此棱台上、下底面面积之和,则该四校锥的高为(  )
A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{8}{3}$D.$\frac{10}{3}$

分析 解方程得出棱台的上下底面边长,根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高.

解答 解:解方程x2-6x+8=0得x=2或x=4,
∴截得的小棱锥的底面边长是2,截得的棱台的上下底面边长分别为2,4.
设棱台的斜高为h,截得小棱锥的高为h′,
则4×$\frac{1}{2}$(2+4)h=22+42=20,且$\frac{h′}{h′+h}=\frac{2}{4}$
∴h=h′=$\frac{5}{3}$.
∴原来四棱锥的高为h+h′=$\frac{10}{3}$.
故选D.

点评 本题考查了棱锥和棱台的结构特征,画出草图帮助观察各线段的关系比较重要.

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