Question

（本小题满分12分）函数f(x)=ax²－2(a－1)x－2lnx ,a>0

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)对于函数图像上的不同两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，如果在函数图像上存在点P(x₀,y₀)（其中x₀在x₁与x₂之间），使得点P处的切线l平行于直线AB，则称AB存在“伴随切线”，当x₀=  时，又称AB存在“中值伴随切线”.试问：在函数f(x)的图像上是否存在不同两点A,B，使得AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A,B的坐标；若不存在，说明理由

 

Answer 1

【答案】

(1) 递增区间是，递减区间是(2)

【解析】（1）先求出函数的导数，然后根据导数知识求出函数的单调区间；（2）对于是否存在问题，先假设存在，把结论当条件，构造函数，利用导数法得出函数的单调性，再利用单调性得出不等式，推出与已知条件矛盾，得出假设不成立

解：（1），

，

所以：递增区间是，递减区间是；………………………………………6分

（2）假设存在不同两点，（不妨设），使得存在“中值伴随切线”，则，………………………………………7分

化简得：，即，……………………………8分

设函数，则，

当时，，即在上是增函数，………………………10分

又，所以，即，与上面结论矛盾，

所以在函数的图像上是不存在不同两点，使得存在“中值伴随切线”.12分