Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，PD=3，（1）证明PA∥平面BDE
（2）证明AC⊥平面PBD
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，又由题设知E为PC的中点，故EH是三角形PAC的中位线，故EH∥PA，
又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以，PA∥平面BDE．
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以，PD⊥AC．
由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD．
（3）四棱锥P-ABCD的体积为 ==2．
分析：（1）设AC∩BD=H，得到EH是三角形PAC的中位线，故EH∥PA，从而证明PA∥平面BDE．
（2）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥AC，由（1）知，BD⊥AC，故AC⊥平面PBD．
（3）四棱锥P-ABCD的体积为 ，代入数据进行运算．
点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求棱锥的体积，推出AC垂直于BD是解题的关键．