Question

甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．

Answer 1

分析：（I）甲、乙两人考试均合格表示两个人同时合格，两个人都合格是相互独立的，做出两个人分别合格的概率，利用相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（II）甲答对试题数ξ依题意知ξ=0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，得到变量的概率，写出分布列．做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）设甲、乙两人参加交通知识考试合格的事件分别为A、B
P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

60+20

120

=

2

3

，
P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+56

120

=

14

15

．
∵事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均合格的概率为P(A•B)=

2

3

×

14

15

=

28

45

．
即甲、乙两人考试均合格的概率为

28

45

．
（Ⅱ）甲答对试题数ξ依题意知ξ=0，1，2，3，
p(ξ=0)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P(ξ=1)=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P(ξ=2)=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．
∴ξ的分布列如下：

∴甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个比较好的概率解答题．