Question

18．P为椭圆$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1上的一点，F₁，F₂为焦点，且∠F₁PF₂=30°．
（1）求△F₁PF₂的周长；
（2）求|PF₁|•|PF₂|；
（3）求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义可得：△F₁PF₂的周长=2a+2c．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m+n=2$\sqrt{5}$．在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncos30°，代入化简整理即可得出．
（3）利用（2）及其△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}mn$sin30°，即可得出．

解答 解：（1）∵P为椭圆$\frac{{y}^{2}}{5}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1上的一点，F₁，F₂为焦点，
∴△F₁PF₂的周长=2a+2c=$2\sqrt{5}$+2．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
m+n=2$\sqrt{5}$．
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：4c²=m²+n²-2mncos30°=（m+n）²-2mn-$\sqrt{3}$mn，
化为4=$（2\sqrt{5}）^{2}$-mn$（2+\sqrt{3}）$，
解得mn=16$（2-\sqrt{3}）$．
（3）△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}mn$sin30°=4（2-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．