Question

已知平面直角坐标系内三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）
（Ⅰ）求过O，A，B三点的圆的方程，并指出圆心坐标与圆的半径．
（Ⅱ）求过点C（-1，0）与条件（Ⅰ）的圆相切的直线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出圆心坐标，分别求出线段OA与OB的垂直平分线，求出两直线的交点即为圆心坐标，求出圆心与O点的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；
（Ⅱ）分两种情况考虑：当斜率不存在时，直线x=-1满足题意；当斜率存在时，设为k，表示出切线方程，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径求出k的值，确定出此时切线方程．

解答：解：（Ⅰ）∵O（0，0），A（1，1），B（4，2），
∴线段OA中点坐标为（

1

2

，

1

2

），线段OB的中点坐标为（2，1），k_OA=1，k_OB=

1

2

，
∴线段OA垂直平分线的方程为y-

1

2

=-（x-

1

2

），线段OB垂直平分线的方程为y-1=

1

2

（x-2），
联立两方程解得：

x=4 y=-3

，即圆心（4，-3），半径r=

42+(-3)2

=5，
则所求圆的方程为x²+y²-8x+6y=0，圆心是（4，-3）、半径r=5；
（Ⅱ）分两种情况考虑：当切线方程斜率不存在时，直线x=-1满足题意；
当斜率存在时，设为k，切线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即

|5k+3|

k2+1

=5，
解得：k=

8

15

，
此时切线方程为y=

8

15

（x+1），
综上，所求切线方程为x=-1或y=

8

15

（x+1）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．