Question

给定a_n=log_n+1（n+2）（n∈N*）定义使a₁•a₂…a_m为整数的正整数m叫做“好整数”，则区间（1，10³）内的所有“好整数”的和为

 

．

Answer 1

分析：用换底公式求出a₁•a₂…a_m的式子，要使此式为整数，由对数的运算性质知，真数部分应为底数的整数倍，得出真数，再用等比的前n项各公式求值．

解答：解：a₁•a₂…a_m=log₂³•log₃⁴…log_m+1^（m+2）=log₂^（m+2）
∵a₁•a₂…a_m为整数，∴m+2可以为2²，2³，…，2⁹，
∴所有“好整数”的和为2²+2³+…+2⁹-2×8=

22(1-28)

1-2

-16=1020-16=1004，
故答案为1004．

点评：此题以对数运算为平台考查数列的求和，解决本题的关键是读懂题意，得出真数取值的数列．