Question

给定a_n=log_n+1（n+2）（n∈N*），定义a₁•a₂…a_k为整数k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2009]内所有希望数的和为______．

Answer 1

根据换底公式 logaN=

logbN

logba

．
得a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

为整数，
∴k+2=2^m，m∈Z．k=2^m_-2
 k分别可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和为2²+2³+…+2¹⁰-18=2026．
故答案为：2026．