Question

平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）（4，2）（2，6）；如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当W=x²y取得最大值时，点P的横纵坐标之和是（　　）

• A、6
• B、8
• C、

  37

  5

• D、

  20

  3

Answer 1

分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出由点A（0，1），B（4，2），C（2，6）围成的△ABC区域（含边界）再分析当W=x²y取到最大值时，点P在线段BC上，结合基本不等式，求出具体的点的坐标．

解答：解：∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．
∴△ABC围成的区域（含边界）如图示：
由图可知：当W=x²y取到最大值时，点P在线段BC上，
由线段BC上的点满足：y=-2x+10，x∈[2，4]，
∴W=x²y=x²（-2x+10）≤(

x+x-2x+10

3

)2，
当且仅当x=-2x+10，即x=

10

3

时，W=x²y取得最大值，
此时y=

10

3

，
∴点P的横纵坐标之和是

20

3

．
故选：D．

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．