题目内容

平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)(4,2)(2,6);如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当W=x2y取得最大值时,点P的横纵坐标之和是(  )
A、6
B、8
C、
37
5
D、
20
3
分析:本题主要考查线性规划的基本知识,先画出由点A(0,1),B(4,2),C(2,6)围成的△ABC区域(含边界)再分析当W=x2y取到最大值时,点P在线段BC上,结合基本不等式,求出具体的点的坐标.
解答:精英家教网解:∵点A,B,C的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6).
∴△ABC围成的区域(含边界)如图示:
由图可知:当W=x2y取到最大值时,点P在线段BC上,
由线段BC上的点满足:y=-2x+10,x∈[2,4],
∴W=x2y=x2(-2x+10)≤(
x+x-2x+10
3
)2

当且仅当x=-2x+10,即x=
10
3
时,W=x2y取得最大值,
此时y=
10
3

∴点P的横纵坐标之和是
20
3

故选:D.
点评:平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.
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