题目内容
设函数.
(Ⅰ)证明:时,函数在上单调递增;
(Ⅱ)证明:.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)导数法,令,,再由得出,从而得出结论;(Ⅱ)用分析法证明,要证,只需证,接着
构造新函数,用导数法求解.
试题解析:(Ⅰ)证明:,则,,
∵,,
∴. (3分)
∴在单调递增 ∴,即,
从而在上单调递增;. (7分)
(Ⅱ)证明:要证,
只需证,即,证明如下:
设,则,(9分)
已知当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
∴在上的最小值为,即, (12分)
又由(Ⅰ),当且时,,
∴,即不等式恒成立. (14分)
考点:导数法求解函数的单调性,最值, 构造法.
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