Question

由下列条件解△ABC，其中有两解的是（　　）

A．b=20，A=45°，C=80°

B．a=30，c=28，B=60°

C．a=12，c=15，A=120°

D．a=14，c=16，A=45°

Answer 1

分析：A、由A和C的度数，利用三角形的内角和定理求出B的度数，由sinA，sinC及sinB，还有b的值，利用正弦定理求出a与c的值，得到此三角形只有一解，本选项错误；
B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，得到此三角形只有一解，本选项错误；
C、由a小于c，得到A小于C，由A为钝角，得到C也为钝角，不能构成三角形，故此三角形无解；
D、由a，c及sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，且得到sinC的值大于

2

2

，同时由a小于c得到C小于45°，根据正弦函数的图象与性质得到C的度数有两解，故此三角形有两解，本选项正确．

解答：解：A、由A=45°，C=80°，得到B=55°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：
a=

bsinA

sinB

=

10 2

sin55°

，c=

20sin80°

sin55°

，
则此时三角形只有一解，本选项错误；
B、由a=30，c=28，B=60°，
根据余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=844，
解得b=2

211

，即此三角形只有一解，
本选项错误；
C、由a=12，c=15，得到a＜c，
有A＜C，而A=120°，得到C也为钝角，
则此三角形无解，本选项错误；
D、由a=14，c=16，A=45°，
根据正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：
sinC=

16× 2 2

14

=

4 2

7

＞

2

2

，
又c＞a，得到C＞45°，
根据正弦函数的图象与性质得到C有两解，本选项正确，
故选D

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的边角关系，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．