Question

19．已知A，B，C是圆O：x²+y²=1上不同的三个点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，存在实数λ，μ满足$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，则点（λ，μ）与圆O的位置关系是（　　）

• A． 在圆O外
• B． 在圆O上
• C． 在圆O内
• D． 无法确定

Answer 1

分析 由A，B，C是圆x²+y²=1上不同的三个点，可得|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
所以对$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，两边平方即可得到结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，
两边平方得：
|$\overrightarrow{OC}$|²=λ²|$\overrightarrow{OA}$|²+μ²|$\overrightarrow{OB}$|²+2λμ$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
∵A，B，C是圆O：x²+y²=1上不同的三个点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
即有λ²+μ²=1，
则点（λ，μ）与圆O的位置关系是在圆上．
故选：B．

点评 本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．