题目内容
(本小题满分12分)如图所示,直角梯形ACDE与等腰直角所在平面互相垂直,F为BC的中点,,AE∥CD,.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)取BD的中点P,连结EP、FP,则PF,
又∵EA,∴EAPF,……………………2分
∴四边形AFPE是平行四边形,∴AF∥EP,
又∵面平面,
∴AF∥面BDE.…………………………………………4分
(Ⅱ)以CA、CD所在直线分别作为x轴,z轴,以过C点和AB平行的直线作为y轴,建立如图所示坐标系.…………………5分
由可得:A(2,0,0,),B(2,2,0),E(2,0,1),D(0,0,2)
则.……………………………………………6分
∵面面,面面,∴面
∴是面的一个法向量.……………………………………………8分
设面的一个法向量n=(x,y,z),则n,n.
∴即整理,得令,则
所以n=(1,1,2)是面的一个法向量.…………………………………………10分
故.
图形可知二面角的平面角,所以其余弦值为.……………………12分
略
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