题目内容

【题目】已知函数f(x)=2cosx+sin2x,则f(x)的最小值是__________

【答案】

【解析】

由题意可得T=2π是f(x)的一个周期,问题转化为f(x)在[0,2π)上的最小值,求导数计算极值和端点值,比较可得.

由题意可得T=2π是f(x)=2cosx+sin2x的一个周期,

故只需考虑2cosx+sin2x在[0,2π)上的值域,

先来求该函数在[0,2π)上的极值点,

求导数可得f′(x)=-2sinx+2cos2x

=-2sinx+2(1﹣2sin2x)=-2(2sinx-1)(sinx+1),

令f′(x)=0可解得sinx=sinx=1,

可得此时x=

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=和边界点x=0中取到,

计算可得f()=,f()=,f()=﹣,f(0)=2,

函数的最小值为﹣

故答案为:

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