题目内容
【题目】已知函数f(x)=2cosx+sin2x,则f(x)的最小值是__________.
【答案】
【解析】
由题意可得T=2π是f(x)的一个周期,问题转化为f(x)在[0,2π)上的最小值,求导数计算极值和端点值,比较可得.
由题意可得T=2π是f(x)=2cosx+sin2x的一个周期,
故只需考虑2cosx+sin2x在[0,2π)上的值域,
先来求该函数在[0,2π)上的极值点,
求导数可得f′(x)=-2sinx+2cos2x
=-2sinx+2(1﹣2sin2x)=-2(2sinx-1)(sinx+1),
令f′(x)=0可解得sinx=或sinx=
1,
可得此时x=,
或
;
∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=,
或
和边界点x=0中取到,
计算可得f()=
,f(
)=
,f(
)=﹣
,f(0)=2,
∴函数的最小值为﹣,
故答案为:.

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