题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n3+n(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}满足

(i)证明:

(ii)是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,由此能求出{an}的通项公式.
(2)由
,知
+
=
.要证:
,即证:
,由此入手能够使原不等式得证.
(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),所以
,由此能够证明存在最大正数k.
解答:解:(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
∵n=1时,a1=S1=2满足上式
∴an=3n-1(n∈N+).
(2)由(1)得:
,
∴
+
=
.
要证:
即证:
,
即:(
3
,
令
,
∵
-
=
>
,
∴g(n+1)>g(n).即g(n)为增.从而
,
∴
从而原不等式得证.
(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),
∴
,
∴
≥
,
∴
,
由(2)知
为增.
∴
,
∴
,
∴存在最大正数k=
.
点评:本题考查数列的通项公式的求法,证明
和判断是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
(2)由







(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),所以

解答:解:(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
∵n=1时,a1=S1=2满足上式
∴an=3n-1(n∈N+).
(2)由(1)得:

∴


=

要证:

即证:


即:(


令

∵


=


∴g(n+1)>g(n).即g(n)为增.从而

∴

(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),
∴

∴


∴

由(2)知

∴

∴

∴存在最大正数k=

点评:本题考查数列的通项公式的求法,证明


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