题目内容
(本小题满分12分)
已知数列满足
(I)求的取值范围;
(II)是否存在,使得?证明你的结论。
解:
(Ⅰ)由a2=<a1解得-3<a1<0或a1>3.………………………………1分
当-3<a1<0时,a2=<=-3,
a3-a2=-a2=>0,a3>a2,与题设矛盾.…………………………3分
当a1>3时,先用数学归纳法证明an>3.
(1)当n=1时不等式成立.
(2)假设当n=k时不等式成立,即ak>3,则
ak+1=>=3,
即当n=k+1时不等式仍成立.
根据(1)和(2),对任何n∈N*,都有an>3.………………………………6分
∵an+1-an=-an=<0,∴an+1<an,n∈N*,
综上,a1的取值范围是(3,+∞).………………………………………………8分
(Ⅱ)假设存在使题设成立的正整数m,则
(am-3)(am+2-3)=(am+1-3)2即(am-3)·=(am+1-3)2,
∴am-3=2am+1,即am-3=,从而am=-3,这不可能.
解析
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