Question

已知函数在处取得极值2 ，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）设A是曲线上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）设函数，若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围。

Answer 1

（I）

 

.………2分

又在处取得极值2.

                                   ………………4分

（Ⅱ）由（I）得

假设存在满足条件的点A,且，则………………6分

………………8分

所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为或……9分

(Ⅲ) ，令.

当变化时，，的变化情况如下表：

				1
	-	0	+	0	-
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

在处取得极小值 ，在处取得极大值

又时，，的最小值为-2………………………11分

对于任意的，总存在，使得

当时，最小值不大于-2

又

当 时，的最小值为，由

得………………………………………12分

当时，最小值为，由，得

当时，的最小值为

由，得或，又，

所以此时不存在.………………………………13分

综上，的取值范围是………………………14分

(Ⅲ)解法二：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2

对于任意的，总存在，使得

当时，有解 ，即在有解

设

所以当或时，

(Ⅲ)解法三：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2

对于任意的，总存在，使得

当时，有解.

综上，的取值范围是.