Question

设实数a≠0，数列{a_n}是首项为a，公比为-a的等比数列，记b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，
求证：当a≠-1时，对任意自然数n都有S_n=

alg|a|

(1+a)2

[1+（-1）ⁿ⁺¹（1+n+na）aⁿ]．

Answer 1

分析：根据题意写出a_n=（-1）^n-1aⁿ与b_n=（-1）^n-1naⁿlg|a|，进而表示出S_n=b₁+b₂+…+b_n，再利用数列求和的方法解决问题即可得到答案．

解答：解：由题意可得：a_n=a₁q^n-1=a（-a）^n-1=（-1）^n-1aⁿ．
∴b_n=a_nlg|a_n|=（-1）^n-1aⁿlg|（-1）^n-1aⁿ|=（-1）^n-1naⁿlg|a|，
∴S_n=alg|a|-2a²lg|a|+3a³lg|a|+…+（-1）^n-2（n-1）a^n-1lg|a|+（-1）^n-1naⁿlg|a|
=[a-2a²+3a³+…+（-1）^n-2（n-1）a^n-1+（-1）^n-1naⁿ]lg|a|
记S=a-2a²+3a³+…+（-1）^n-2（n-1）a^n-1+（-1）^n-1naⁿ①
as=a²-2a³+…+（-1）^n-3（n-2）a^n-1+（-1）^n-2（n-1）aⁿ+（-1）^n-1naⁿ⁺¹②
①+②得（1+a）s=a-a²+a³++（-1）^n-2a^n-1+（-1）^n-2aⁿ+（-1）^n-1naⁿ⁺¹③
∵a≠-1，∴(1+a)S=

a+(-1)n-1an+1

1-(1-a)

+(-1)n-1n•an+1
∴S=

a+(-1)n-1an+1+(1+a)•(-1)n-1•n•an+1

(1+a)2

∴S=

a+(1+n+na)•(-1)n-1an+1

(1+a)2

=

a[1+(1+n+na)(-1)n+1an]

(1+a)2

∴Sn=

alg|a|

(1+a)2

[1+(-1)n+1(1+n+na)an]．
故当a≠-1时，对任意自然数n都有S_n=

alg|a|

(1+a)2

[1+（-1）ⁿ⁺¹（1+n+na）aⁿ]．

点评：解决此类问题的关键是数列掌握数列的通项公式与求数列前n项和的方法，此题对运算能力有较高的要求．