Question

设实数a≠0，函数f（x）=a（x²+1）-（2x+

1

a

）有最小值-1．
（1）求a的值；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），令b_n=

a2+a4+…+a2n

n

，证明：数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析：由f（x）=a（x-

1

a

）²+a-

2

a

有最小值-1可得，f（

1

a

）=a-

2

a

=-1，且a＞0，解方程可求
（2）由S_n=n²-2n可求a₁=S₁=-1．
当n≥2时，利用递推公式a_n=S_n-S_n-1=可求a_n，代入计算a₂+a₄+…+a_2n=n（2n-1）从而可得，b_n=

n(2n-1)

n

=2n-1．
要证数列{b_n}是等差数列?b_n+1-b_n=d即可

解答：（1）解：∵f（x）=a（x-

1

a

）²+a-

2

a

，由已知知f（

1

a

）=a-

2

a

=-1，且a＞0，解得a=1，a=-2（舍去）．
（2）证明：由（1）得f（x）=x²-2x，
∴S_n=n²-2n，a₁=S₁=-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n-（n-1）²+2（n-1）=2n-3，a₁满足上式即a_n=2n-3．
∵a_n+1-a_n=2（n+1）-3-2n+3=2，
∴数列{a_n}是首项为-1，公差为2的等差数列．
∴a₂+a₄+…+a_2n=

n(a2+a2n)

2

=

n(1+4n-3)

2

=n（2n-1），
即b_n=

n(2n-1)

n

=2n-1．
∴b_n+1-b_n=2（n+1）-1-2n+1=2．
又b₂=

a2

1

=1，
∴{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．

点评：（1）考查了在数列中利用二次函数求解最值属于数列与函数简单综合（2）考查了利用递推公式由S_n求a_n，要注意对n=1时的项是否适合通项的检验，还考查了利用定义证明等差数列．