题目内容

已知不等式 $数学公式$ -2sin2θ＜3a+6对于 $数学公式$ 恒成立，求a的取值范围．

解：设sinθ+cosθ=x，则 $\text{[math]}$
从而原不等式可化为： $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
∴原不等式等价于不等式（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴2x-3＜0
（1）不等式恒成立等价于 $\text{[math]}$ 恒成立．
从而只要 $\text{[math]}$ ．
又容易知道 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上递减，∴ $\text{[math]}$ ．
所以a＞3．
分析：设sinθ+cosθ=x，则原不等式可化为： $\text{[math]}$ ，然后转化成 $\text{[math]}$ 恒成立，将a分离出来，从而只要 $\text{[math]}$ ，根据函数的单调性求出 $\text{[math]}$ 即可求出a的范围．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，以及换元法的应用，解题的关键是恒等式的转化变形，以及利用函数的单调性求最值，是一道综合题．

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（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）
①若曲线C1：θ=

（ρ∈R）与曲线C2：

(θ为参数，a为常数，a＞0）有两个交点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为

．
②已知a²+2b²+3c²=6，若存在实数a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，则实数x的取值范围为

选做题（请考生在三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（A）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x0y中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C与直线l的方程分别为：ρ=2sinθ，

（t为参数）．若圆C被直线l平分，则实数x₀的值为

．
（B）（不等式选做题）若关于x的不等式|x-m|＜2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是

．
（C）（几何证明选讲）如图，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE=

选做题（本题共2小题，任选一题作答，若做两题，则按所做的第①题给分）
（1）已知不等式|x+1|-a＜|x-2|的解集为（-∞，2），则a的值为

（2）曲线C₁：ρ=2sinθ与曲线C₂：ρ=2cosθ（ρ≥0，0≤θ＜2π）的交点的极坐标为

（0，0），（

（0，0），（

选做题（本题共2小题，任选一题作答，若做两题，则按所做的第①题给分）
（1）已知不等式|x+1|-a＜|x-2|的解集为（-∞，2），则a的值为
（2）曲线C₁：ρ=2sinθ与曲线C₂：ρ=2cosθ（ρ≥0，0≤θ＜2π）的交点的极坐标为．

选做题（本题共2小题，任选一题作答，若做两题，则按所做的第①题给分）
（1）已知不等式|x+1|-a＜|x-2|的解集为（-∞，2），则a的值为
（2）曲线C₁：ρ=2sinθ与曲线C₂：ρ=2cosθ（ρ≥0，0≤θ＜2π）的交点的极坐标为．