Question

已知函数的图象过点（1，2），相邻两条对称轴间的距离为2，且f（x）的最大值为2．
（1）求φ；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2010）；
（3）若函数g（x）=f（x）-m-1在区间[1，4]上恰有一个零点，求m的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数的周期求出ω的值，根据函数的最大值求出A的值，根据函数过点（1，2）及∅的范围求出∅的值．
（2）由（1）知且周期为4，2010=4×502+2，故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=
f（1）+f（2）．
（3）由在区间[1，4]上恰有一个零点知：函数的
图象与直线恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，结合图象可得m的取值范围．
解答：解：（1）∵，由于f（x）的最大值为2且A＞0，
所以，即A=2，得 ，又函数f（x）的图象过点（1，2）则．
（2）由（1）知且周期为4，2010=4×502+2，
∵f（1）=2，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，
故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=502×4+f（1）+f（2）=2008+3=2011．
（3）由在区间[1，4]上恰有一个零点知：
函数的图象与直线y=m恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象（如图所示），
由图象可知 0＜m≤1或 m=-1，故m的取值范围是{m|0＜m≤1，或 m=-1}．

点评：本题考查三角函数的最值，函数的零点，三角函数的周期性和求法，体现了数形结合的数学思想，求出函数f（x） 的
解析式，是解题的突破口．