Question

已知平面向量

a

=(

3

2

，-

1

2

)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在不为零的实数m，使得：

c

=

a

+2x

b

，

d

=-y

a

+(m-2x2)

b

，且

c

⊥

d

，
（1）试求函数y=f（x）的表达式；
（2）若m∈（0，+∞），当f（x）在区间[0，1]上的最大值为12时，求此时m的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的条件，写出两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直，又根据垂直得到数量积为0，整理最后一个关于向量数量积的等式，把y表示成x的函数，得到结果．
（2）首先求函数的导函数，根据导函数与0的关系，判断函数的单调性，单调区间是包含字母m的，要针对于m的取值写出这种情况下的最大值，得到符合题意的m的值，把不合题意的数字舍去．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=

3

2

×

1

2

-

1

2

×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

．∵

c

⊥

d

，
∴

c

•

d

=0，又知

a

2=1，

b

2=1．

c

•

d

=-y+2x(m-2x2)=0.
∴y=2mx-4x³，
故f（x）=2mx-4x³．
（2）f（x）=2mx-4x³，则f'（x）=2m-12x²，其中m＞0，
当0≤x＜

m 6

时，f'（x）＞0，f（x）在[0，

m 6

]上单调递增；
当x＞

m 6

时，f'（x）＜0，f（x）在(

m 6

，+∞)上单调递减，
①若

m 6

≥1，即m≥6，则f（x）在[0，1]上单调递增，此时f（x）
在区间[0，1]上的最大值f（x）_max=f（1）=2m-4=12，解得m=8满足条件．
②若

m 6

＜1，即0＜m＜6，则f（x）在[0，

m 6

]上单调递增，在(

m 6

，1)
上单调递减，则f（x）在区间[0，1]上的最大值f(x)max=f(

m 6

)=2

m 6

•m-4(

m 6

)3=12，
解得m3=486，m=3

3	18

＞6，不满足0＜m＜6，舍去．
综上所述，存在常数m=8，使函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为12．

点评：本题考查向量的数量积．考查导函数在求最大值和最小值时的应用，本题考查分类讨论思想，是一个综合题，结合向量，导数，函数三方面的内容，是一个易错题．