Question

(本小题满分12分)学科网已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB_1学科网              的中点，M为线段AC₁的中点.学科网

   （1）求证：直线MF∥平面ABCD；学科网

   （2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；学科网

   （3）求平面AFC₁与与平面ABCD所成二面角的大小.学科网

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Answer 1

（1）略  （2）略（3）30°或150°

解析:

：解法一：

   （1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB₁的中点，

       所以F为C₁N的中点，B为CN的中点。2分

       又M是线段AC₁的中点，故MF∥AN。·3分

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。·5分

（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A₁A⊥BD。∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD。又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。∴BD⊥平面ACC₁A₁。··7分在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形                  故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA平面AFC₁∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

  （3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，

∴AC₁⊥NA。又由BD⊥AC可知NA⊥AC，   ∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。10分在Rt△C₁AC中，tan，故∠C₁AC=30°

∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。···12分