题目内容

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（4a-3）x+5-4a（x＜1）}\\{lo{g}_{a}（x-\frac{1}{2}）（x≥1）}\end{array}\right.$是R上的减函数，那么a的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]B．（0，$\frac{3}{4}$]C．[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$]D．（$\frac{3}{4}$，1）

分析 由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{4a-3＜0}\\{0＜a＜1}\\{{log}_{a}\frac{1}{2}≤4a-3+5-4a}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（4a-3）x+5-4a（x＜1）}\\{lo{g}_{a}（x-\frac{1}{2}）（x≥1）}\end{array}\right.$是R上的减函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-3＜0}\\{0＜a＜1}\\{{log}_{a}\frac{1}{2}≤4a-3+5-4a}\end{array}\right.$，
求得 0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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X0123
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①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；
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③函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增；
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A．①②④B．②③C．①④D．①②③④
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