Question

10．如图，三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且长度均为4，E，F分别是AB，AC的中点，过EF作平面α，平面α与侧棱OA相交于A₁，与侧棱OB，OC的延长线分别交于点B₁，C₁，且OA₁=3．
（Ⅰ）求证：BC∥B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角O-A₁B₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过中位线定理及线面平行的判定定理即得答案；
（Ⅱ）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立坐标系，则二面角O-A₁B₁-C₁即为O-A₁E-F，所求值即为平面OA₁E的法向量与平面FA₁E的法向量的夹角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵E、F为AB、AC中点，∴BC∥EF，
又∵BC?平面A₁B₁C₁，EF?平面A₁B₁C₁，
∴BC∥平面A₁B₁C₁，
又∵BC?平面OBC，平面OBC∩平面A₁B₁C₁=B₁C₁，
∴BC∥B₁C₁；
（Ⅱ）解：以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立坐标系，
则B（4，0，0），C（0，4，0），A（0，0，4），A₁（0，0，3），E（2，0，2），F（0，2，2），
二面角O-A₁B₁-C₁即为O-A₁E-F，
显然OC⊥平面OA₁E，故平面OA₁E的法向量可以取$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设平面FA₁E的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=（x，y，z）•（2，0，-1）=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=（x，y，z）•（-2，2，0）=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角O-A₁B₁-C₁的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．