Question

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（　　）

A．直线AH和BB₁所成角为45°

B．AH的延长线经过点C₁

C．AH垂直平面CB₁D₁

D．点H是△A₁BD的垂心

Answer 1

分析：利用直线AH和BB₁所成角等于直线AH和AA₁所成角，可得结论；连接正方体的体对角线AC₁，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A₁B、A₁D等，所以AC₁⊥平面A₁BD，则直线A₁C与AH重合；面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁；因为三棱锥A-A₁BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，故可得结论．

解答：解：直线AH和BB₁所成角等于直线AH和AA₁所成角，由于AA₁=1，HA₁=

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，∴直线AH和BB₁所成角不等于45°，故A错误；
连接正方体的体对角线AC₁，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A₁B、A₁D等，所以AC₁⊥平面A₁BD，则直线A₁C与AH重合，所以选项B正确；
面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁，所以选项C正确；
因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项D正确；
故选A．

点评：本题考查命题真假判断，考查正方体的性质，属于中档题．