Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：①当k为奇数时，f′（x）=

2(x2+1)

x

；②当k为偶数时，f′（x）=

2(x2-1)

x

；最后综合即可；
（2）当k为偶数时，由（1）知f′（x）=

2(x2-1)

x

，由条件得{a_n²+1}是一个公比为2的等比数列，从而得到a_n²=2ⁿ-1，最后利用反证法进行证明即可；
（3）当k为奇数时，f′（x）=2（x+

1

x

），欲证原不等式成立，即证：（x+

1

x

）ⁿ-（xⁿ+

1

x n

）≥2ⁿ-2，由二项式定理得，即证：C_n¹xⁿ-2+C_n²x^n-4+…+C_n ^2-n x ^2-n≥2ⁿ-2，设S_n=C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4+…+C_n ^2-nx ^2-n，利用倒序相加法即可证得．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k

1

x

=

2[x2-(-1)k]

x

，
①当k为奇数时，f′（x）=

2(x2+1)

x

，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
②当k为偶数时，f′（x）=

2(x2-1)

x

，∵x+1＞0，f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
（2）当k为偶数时，由（1）知f′（x）=

2(x2-1)

x

，∴f′（a_n）=

2( a 2 n -1)

an

，
由条件得：2（a_n²-1）=a_n+1²-3，故有：a_n+1²+1=2（a_n²+1），
∴{a_n²+1}是一个公比为2的等比数列，∴a_n²=2ⁿ-1，
假设数列{a_n²}中的存在三项a_r²，s²，a_t²，能构成等差数列
不妨设r＜s＜t，则2a_s²=a_r²+a_t²，
即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，∴2^s-r+1=1+2 ^t-r，
又s-r+1＞0，t-r＞0，∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，故假设不成立，
因此，数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，f′（x）=2（x+

1

x

），即证：（x+

1

x

）ⁿ-（xⁿ+

1

x n

）≥2ⁿ-2，
由二项式定理得，即证：C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4+…+

C

n-1 n

x^2-n≥2ⁿ-2，
设S_n=C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4+…+

C

n-1 n

x^2-n，
S_n=

C

n-1 n

x^2-n+…+C_n²x^n-4+C_n¹x^n-2，
两式相加得：
2S_n=C_n¹（x^n-2+x^2-n）+C_n²（x^n-4+x^4-n）+…+C_n^n-1（x^n-2+x^2-n）≥2（C_n¹+C_n²+…+

C

n-1 n

）=2（2ⁿ-2），
∴S_n≥2ⁿ-2，
即原不等式成立．

点评：本小题主要考查等差关系的确定、利用导数研究函数的单调性、用数学归纳法证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．本题利用了二项展开式的二项式系数和公式

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2ⁿ．